Trong khi tính lồi cơ bản bao gồm tổng và phép nhân tỷ lệ, việc bảo toàn tính lồi thông qua supremum điểm là một thao tác nền tảng để xây dựng các hàm lồi phi tầm thường và thiết lập tính đối ngẫu. Nó khẳng định rằng ngay cả khi chúng ta có một tập hợp vô hạn không đếm được các hàm lồi, 'vỏ bọc trên' của chúng vẫn giữ tính lồi. Cầu nối này cho phép chúng ta phân tích các hình dạng lồi phức tạp bằng cách sử dụng các thành phần tuyến tính đơn giản.
1. Định nghĩa kỹ thuật
Với một họ các hàm số $\{f(\cdot, y) \mid y \in \mathcal{A}\}$, supremum điểm được định nghĩa là:
$$g(x) = \sup_{y \in \mathcal{A}} f(x, y)$$
Miền xác định của hàm số này là tập hợp các điểm mà tại đó tất cả các hàm trong họ đều xác định và supremum là hữu hạn:
$$\text{dom } g = \{x \mid (x, y) \in \text{dom } f \text{ với mọi } y \in \mathcal{A}, \sup_{y \in \mathcal{A}} f(x, y) < \infty\}$$
Quan điểm về epigraph
Hình học, epigraph của hàm supremum là giao của các epigraph riêng lẻ:
$$\text{epi } g = \bigcap_{y \in \mathcal{A}} \text{epi } f(\cdot, y)$$
Vì mỗi epigraph riêng lẻ là một tập hợp lồi (do tính lồi của $f(x, y)$ theo biến $x$), và giao của bất kỳ số lượng nào các tập hợp lồi cũng chính là lồi, nên tính lồi của $g(x)$ là chắc chắn.
2. Các ví dụ quan trọng
- Hàm hỗ trợ: $S_C(y) = \sup \{ y^T x \mid x \in C \}$. Hàm này luôn lồi, bất kể tập hợp $C$ có lồi hay không, vì nó là supremum của các hàm tuyến tính (affine) theo biến $y$.
- Khoảng cách đến điểm xa nhất: $f(x) = \sup_{y \in C} \|x - y\|$. Ngay cả với một tập hợp $C$ có hình dạng không đều, $f(x)$ vẫn là hàm lồi theo $x$ vì chuẩn là một hàm lồi theo $x$.
- Giá trị riêng lớn nhất: Với ma trận đối xứng $X$, $f(X) = \lambda_{\max}(X)$ là hàm lồi. Điều này được suy ra từ thương Rayleigh: $\lambda_{\max}(X) = \sup\{y^T X y \mid \|y\|_2 = 1\}$. Đây là supremum của các hàm tuyến tính theo $X$.
Định lý: Biểu diễn bằng các hàm affine
Định lý
Hầu hết mọi hàm lồi đều có thể biểu diễn dưới dạng supremum điểm của một họ các hàm affine (các cận dưới toàn cục).
Trực giác
Tại mọi điểm $x_0$, một hàm lồi $f$ có một siêu phẳng tiếp xúc (một hàm affine $h(x) = f(x_0) + g^T(x-x_0)$). Bằng cách lấy supremum của tất cả các siêu phẳng tiếp xúc như vậy, chúng ta khôi phục lại chính xác hàm số $f$.
🎯 Nguyên lý cốt lõi
Supremum điểm bảo toàn tính lồi, còn infimum điểm bảo toàn tính lõm. Đây chính là bí mật đằng sau tính lồi của các chuẩn, hàm phổ và các bài toán đối ngẫu.
$$g(x) = \sup_{y \in \mathcal{A}} f(x, y) \implies g \text{ là lồi nếu } f(\cdot, y) \text{ là lồi } \forall y$$